3189. Точки K
и L
лежат на стороне BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
, а точки M
и N
на стороне AD
, причём BK=KL=LC
и AN=NM=MD
. Докажите, что площадь треугольника KNL
равна полусумме площадей треугольников ABK
и CML
.
Решение. Пусть AH_{1}
, NH_{2}
и MH_{3}
— высоты треугольников ABK
, KNL
и CML
. Тогда NH_{2}
— средняя линия прямоугольной трапеции (или прямоугольника) AH_{1}H_{3}M
. Поэтому
NH_{2}=\frac{1}{2}(AH_{1}+MH_{3}).
Следовательно,
S_{\triangle KNL}=\frac{1}{2}KL\cdot NH_{2}=\frac{1}{2}KL\cdot\frac{1}{2}(AH_{1}+MH_{3})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}KL\cdot AH_{1}+\frac{1}{2}KL\cdot MH_{3}\right)=
=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}BK\cdot AH_{1}+\frac{1}{2}CL\cdot MH_{3}\right)=\frac{1}{2}(S_{\triangle ABK}+S_{\triangle CML}).
Что и требовалось доказать.