3192. Из внешней точки A
проведены к кругу касательная AB
и секущая ACD
. Найдите площадь треугольника CBD
, если AC:AB=2:3
и площадь треугольника ABC
равна 20.
Ответ. 25.
Указание. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Решение. По теореме об угле между касательной и хордой \angle ABC=\angle ADB
. Поэтому треугольник ADB
подобен треугольнику ABC
(по двум углам). Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон, т. е. \frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}
. Следовательно,
S_{\triangle ADB}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}S_{\triangle ABC}=\frac{9}{4}\cdot20=45,
S_{\triangle CBD}=S_{\triangle ADB}-S_{\triangle ABC}=45-20=25.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 138, с. 91