3193. AB
и CD
— две непересекающиеся хорды, причём \cup AB=120^{\circ}
и \cup CD=90^{\circ}
; M
— точка пересечения хорд AD
и BC
. Найдите площади треугольников AMB
и CMD
, если сумма этих площадей равна 100.
Ответ. 60 и 40.
Указание. Выразите стороны AB
и CD
подобных треугольников AMB
и CMD
через радиус окружности.
Решение. Поскольку
\angle MAB=\angle DAB=\angle BCD=\angle MCD,
то треугольники AMB
и CMD
подобны. Если R
— радиус данной окружности, то
AB=2R\sin60^{\circ}=R\sqrt{3},~CD=2R\sin45^{\circ}=R\sqrt{2}.
Поэтому коэффициент подобия равен
\frac{AB}{CD}=\frac{R\sqrt{3}}{R\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle CMD}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{3}{2}.
Значит, S_{\triangle AMB}=60
и S_{\triangle CMD}=40
.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 139, с. 91