3194. AB
— диаметр; BC
и AC
— хорды, причём \cup BC=60^{\circ}
; D
— точка пересечения продолжения диаметра AB
и касательной CD
. Найдите отношение площадей треугольников DCB
и DCA
.
Ответ. \frac{1}{3}
.
Указание. Треугольники DCB
и DAC
подобны.
Решение. Поскольку
\angle DCB=\angle BAC=\angle DAC,
то треугольники DCB
и DAC
подобны. Коэффициент подобия равен \frac{CB}{AC}
.
Поскольку \angle ACB=90^{\circ}
, а \angle CAB=30^{\circ}
то
\frac{CB}{AC}=\tg30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle DCB}}{S_{\triangle DAC}}=\left(\frac{CB}{AC}\right)^{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{1}{3}.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 140, с. 91