3202. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разделил его на два четырёхугольника, имеющих равные площади. Докажите, что эти стороны параллельны.
Указание. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
и S_{AMND}=S_{BMNC}
.
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому треугольники AMN
и BMN
равновелики. Тогда
S_{\triangle AND}=S_{AMND}-S_{\triangle AMN}=S_{BMNC}-S_{\triangle BMN}=S_{\triangle BNC},
т. е. треугольники ADN
и BNC
также равновелики. Поэтому высоты AA_{1}
и BB_{1}
этих треугольников равны. Следовательно, AB\parallel CD
.