3211. Точка внутри правильного 2n
-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n
треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных а) для n=4
, б) для n=3
, в) для произвольного n
.
Указание. Разберите отдельно случаи чётного и нечётного n
.
Решение. Поскольку в правильном многоугольнике все стороны равны, достаточно доказать, что сумма высот красных треугольников равна сумме высот голубых.
Если n
чётно, то к противоположным сторонам 2n
-угольника примыкают треугольники одного цвета, а сумма высот таких треугольников равна расстоянию между этими сторонами (рис. 1). Разбивая треугольники на пары, прилегающие к противоположным сторонам, получим утверждение задачи.
При нечётном n
, продолжив «красные» стороны 2n
-угольника, получим правильный n
-угольник (рис. 2). Построенный таким же образом голубой n
-угольник равен красному. Площадь голубого n
-угольника равна сумме высот голубых треугольников, умноженной на половину его стороны. То же верно и для красного n
-угольника. Отсюда следует равенство сумм высот голубых и красных треугольников.