3215. Найдите геометрическое место точек X
, лежащих внутри трапеции ABCD
(BC\parallel AD
) или на её сторонах, если известно, что S_{\triangle XAB}=S_{\triangle XCD}
.
Ответ. Отрезок, соединяющий середины оснований.
Указание. Пусть S_{\triangle XAB}=S_{\triangle XCD}
. Методом «от противного» докажите, что точка X
лежит на прямой, проходящей через середины оснований трапеции.
Решение. Пусть P
и Q
— середины оснований BC
и AD
трапеции ABCD
, h
— высота трапеции (рис. 1). Если точка X
принадлежит отрезку PQ
, то XP
и XQ
— медианы треугольников BXC
и AXD
, поэтому
S_{\triangle XBP}=S_{\triangle XCP},~S_{\triangle XAQ}=S_{\triangle XDQ}.
Кроме того,
S_{ABPQ}=\frac{1}{2}(BP+AQ)h=\frac{1}{2}(CP+DQ)h=S_{CPQD}.
Следовательно, S_{\triangle XAB}=S_{\triangle XCD}
.
Пусть теперь X
— точка внутри трапеции ABCD
, для которой S_{\triangle XAB}=S_{\triangle XCD}
(рис. 2). Предположим, что X
не лежит на прямой PQ
. Поскольку
S_{\triangle XBP}=S_{\triangle XCP},~S_{\triangle XAQ}=S_{\triangle XDQ},
то
S_{ABPXQ}=S_{CPXQD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.
Если точки X
и C
лежат по одну сторону от прямой PQ
, то
\frac{1}{2}S_{ABCD}=S_{ABPQ}+S_{\triangle PXQ}=\frac{1}{2}S_{ABCD}+S_{\triangle PXQ},
что невозможно, если точка X
не лежит на прямой PQ
.
Аналогично для случая, когда точки X
и C
лежат по разные стороны от прямой PQ
.