3223. Докажите, что из всех треугольников данного периметра равносторонний имеет наибольшую площадь.
Указание. Примените формулу Герона и неравенство Коши для трёх чисел (среднее арифметическое трёх неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического).
Решение. Первый способ. Известно, что если числа x
, y
, z
неотрицательны, то
\frac{x+y+z}{3}\geqslant\sqrt[{3}]{{xyz}},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда x=y=z
. Отсюда следует, что при постоянной сумме положительных чисел x
, y
, z
их произведение максимально, если эти числа равны между собой.
Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, p
— полупериметр, S
— площадь. По формуле Герона
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}~\Rightarrow~S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)~\leqslant
\leqslant~p\left(\frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}\right)^{3}=p\cdot\left(\frac{p}{3}\right)^{3}=\frac{p^{4}}{27},
причём равенство имеет место в случае, если слагаемые равны между собой, т. е. p-a=p-b=p-c
. Отсюда следует, что a=b=c
. Следовательно, из всех треугольников с заданным периметром 2p
наибольшую площадь имеет равносторонний и эта наибольшая площадь равна \frac{p^{2}}{3\sqrt{3}}
.
Второй способ. См. задачу 3227б.