3223. Докажите, что из всех треугольников данного периметра равносторонний имеет наибольшую площадь.
Указание. Примените формулу Герона и неравенство Коши для трёх чисел (среднее арифметическое трёх неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического).
Решение. Первый способ. Известно, что если числа x
, y
, z
неотрицательны, то
\frac{x+y+z}{3}\geqslant\sqrt[{3}]{{xyz}},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда x=y=z
. Отсюда следует, что при постоянной сумме положительных чисел x
, y
, z
их произведение максимально, если эти числа равны между собой.
Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, p
— полупериметр, S
— площадь. По формуле Герона
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}~\Rightarrow~S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)\leqslant
\leqslant p\left(\frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}\right)^{3}=p\cdot\left(\frac{p}{3}\right)^{3}=\frac{p^{4}}{27},
причём равенство имеет место в случае, если слагаемые равны между собой, т. е. p-a=p-b=p-c
. Отсюда следует, что a=b=c
. Следовательно, из всех треугольников с заданным периметром 2p
наибольшую площадь имеет равносторонний и эта наибольшая площадь равна \frac{p^{2}}{3\sqrt{3}}
.
Второй способ. См. задачу 3227б.
Источник: Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. — М.: Наука, 1967. — № 527, с. 48
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 48, с. 10
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 11.3, с. 274
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — задача 1, с. 108