3229. Пусть l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
— биссектрисы треугольника, проведённые из вершин, противолежащим сторонам, равным a
, b
и c
соответственно, p
— полупериметр треугольника. Докажите, что:
\mbox{а)}~l_{a}^{2}+l_{b}^{2}+l_{c}^{2}\leqslant p^{2};~\mbox{б)}~l_{a}+l_{b}+l_{c}\leqslant p\sqrt{3}.
Решение. а) Сложив почленно неравенства
l_{a}^{2}\leqslant p(p-a),~l_{b}^{2}\leqslant p(p-b),~l_{c}^{2}\leqslant p(p-c),
(см. задачу 3228), получим, что
l_{a}^{2}+l_{b}^{2}+l_{c}^{2}\leqslant p(p-a)+p(p-b)+c(p-c)=
=p(p-a+p-b+p-c)=p(3p-2p)=p^{2}.
б) Для любых чисел l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
верно неравенство (l_{a}+l_{b}+l_{c})^{2}\leqslant3(l_{a}^{2}+l_{b}^{2}+l_{c}^{2})
, так как
(l_{a}+l_{b}+l_{c})^{2}\leqslant3(l_{a}^{2}+l_{b}^{2}+l_{c}^{2})~\Leftrightarrow~0\leqslant2l_{a}^{2}+2l_{b}^{2}+2l_{c}^{2}-2l_{a}l_{b}-2l_{a}l_{c}-2l_{b}l_{c}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~0\leqslant(l_{a}-l_{b})^{2}+(l_{a}-l_{c})^{2}+(l_{b}-l_{c})^{2}.
Поэтому
(l_{a}+l_{b}+l_{c})^{2}\leqslant3(l_{a}^{2}+l_{b}^{2}+l_{c}^{2})\leqslant3p^{2}.
Следовательно, l_{a}+l_{b}+l_{c}\leqslant p\sqrt{3}
.
Что и требовалось доказать.