3230. Пусть r
— радиус окружности, вписанной в треугольник, две стороны которого равны a
и b
. Докажите, что 6r\leqslant a+b
.
Решение. Пусть третья сторона треугольника равна c
, высота, опущенная на эту сторону равна h_{c}
, угол, противолежащий этой стороне, равен \gamma
, а площадь треугольника равна S
.
Тогда h_{c}\leqslant a
и h_{c}\leqslant b
, поэтому 2h_{c}\leqslant a+b
. Значит, 4S=2ch_{c}\leqslant c(a+b)
.
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, поэтому S=\frac{r(a+b+c)}{2}
, и 12S=6r(a+b+c)
.
С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними, поэтому S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\leqslant\frac{1}{2}ab
. Следовательно,
6r(a+b+c)=12S=8S+4S\leqslant8\cdot\frac{1}{2}ab+c(a+b)=
=4ab+c(a+b)\leqslant(a+b)^{2}+c(a+b)=(a+b)(a+b+c)
(так как 4ab\leqslant(a+b)^{2}~\Leftrightarrow~0\leqslant a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}
). Разделив обе части неравенства 6r(a+b+c)\leqslant(a+b)(a+b+c)
на положительное число a+b+c
, получим, что 6r\leqslant a+b
. Что и требовалось доказать.