3237. Пусть r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника, касающихся сторон, равных b
и c
соответственно, h_{a}
— высота, опущенная на сторону a
. Докажите, что h_{a}\leqslant\sqrt{r_{b}r_{c}}
.
Указание. Докажите, что \frac{2}{h_{a}}=\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}
.
Решение. Из равенства \frac{2}{h_{a}}=\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}
(см. задачу 3235) получаем, что h_{a}=\frac{2r_{b}r_{c}}{r_{b}+r_{c}}
, а так как \frac{r_{b}+r_{c}}{2}\geqslant\sqrt{r_{b}r_{c}}
, то
h_{a}=\frac{2r_{b}r_{c}}{r_{b}+r_{c}}\leqslant\frac{2r_{b}r_{c}}{2\sqrt{r_{b}r_{c}}}=\sqrt{r_{b}r_{c}}.
Что и требовалось доказать.