3239. Пусть h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
— высоты треугольника, опущенные на стороны, равные a
, b
и c
соответственно, r
— радиус вписанной окружности треугольника. Докажите, что
\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}.
Указание. Пусть S
— площадь треугольника, p=\frac{a+b+c}{2}
— его полупериметр. Тогда S=\frac{1}{2}ah_{a}
и S=pr
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника, p=\frac{a+b+c}{2}
— его полупериметр. Тогда S=\frac{1}{2}ah_{a}
и S=pr
. Из равенства \frac{1}{2}ah_{a}=pr
находим, что h_{a}=\frac{2pr}{a}
. Аналогично h_{b}=\frac{2pr}{b}
и h_{c}=\frac{2pr}{c}
. Следовательно,
\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{a}{2pr}+\frac{b}{2pr}+\frac{c}{2pr}=\frac{a+b+c}{2pr}=\frac{2p}{2pr}=\frac{1}{r}.
Что и требовалось доказать.