3239. Пусть h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
— высоты треугольника, опущенные на стороны, равные a
, b
и c
соответственно, r
— радиус вписанной окружности треугольника. Докажите, что
\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}.
Указание. Пусть S
— площадь треугольника, p=\frac{a+b+c}{2}
— его полупериметр. Тогда S=\frac{1}{2}ah_{a}
и S=pr
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника, p=\frac{a+b+c}{2}
— его полупериметр. Тогда S=\frac{1}{2}ah_{a}
и S=pr
. Из равенства \frac{1}{2}ah_{a}=pr
находим, что h_{a}=\frac{2pr}{a}
. Аналогично h_{b}=\frac{2pr}{b}
и h_{c}=\frac{2pr}{c}
. Следовательно,
\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{a}{2pr}+\frac{b}{2pr}+\frac{c}{2pr}=\frac{a+b+c}{2pr}=\frac{2p}{2pr}=\frac{1}{r}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 103, с. 145
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — с. 16
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 71, с. 171
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1975, № 8, задача 46, с. 75
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 12.22, с. 303
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.23, с. 291
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 169(1), с. 30
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 15г, с. 57