3244. Пусть r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника, касающихся сторон, равных a
, b
и c
соответственно, p
— полупериметр треугольника. Докажите, что
r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{a}r_{c}=p^{2}.
Указание. Докажите, что r_{a}r_{b}=p(p-c)
.
Решение. Сложив почленно равенства
r_{a}r_{b}=p(p-c),~r_{b}r_{c}=p(p-a),~r_{a}r_{c}=p(p-b)
(см. задачу 3242), получим, что
r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{a}r_{c}=p(p-c)+p(p-a)+p(p-b)=
=p(p-c+p-a+p-b)=p(3p-2p)=p^{2}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью В.Дроздова «Треугольник и классические неравенства», Квант, 2019, N8, с.40-41.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 97, с. 145
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 98, с. 172
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 12.25, с. 303
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.26, с. 291
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 169(3), с. 31
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 51, с. 143