3247. Два подобных равнобедренных треугольника имеют общую вершину. Докажите, что проекции их оснований на прямую, проходящую через середины оснований, равны.
Указание. Примените теорему синусов к треугольнику OMN
.
Решение. Пусть M
и N
— середины оснований соответственно AB
и CD
подобных равнобедренных треугольников AOB
и COD
, k
— отношение оснований треугольников к высотам, т. е. \frac{AB}{OM}=\frac{CD}{ON}=k
, a
и b
— проекции оснований соответственно AB
и CD
на прямую MN
.
Тогда
a=AB\sin\angle OMN=kOM\sin\angle OMN,~
b=CD\sin\angle ONM=kON\sin\angle ONM.
Применив теорему синусов к треугольнику OMN
, получим, что \frac{OM}{\sin\angle ONM}=\frac{ON}{\sin\angle OMN}
. Поэтому OM\sin\angle OMN=ON\sin\angle ONM
. Значит,
a=kOM\sin\angle OMN=kON\sin\angle ONM=b.
Что и требовалось доказать.