3253. Докажите, что если углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, то:
\mbox{а)}~\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{1}{8};~\mbox{б)}~\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqslant\frac{1}{8}.
Решение. Первый способ. а) Пусть R
— радиус описанной окружности, r
— радиус вписанной окружности. Тогда
\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{4R}
(см. задачу 3225). Кроме того, R\geqslant2r
(см. задачу 3587). Следовательно,
\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{4R}\leqslant\frac{1}{8}.
б) Для тупоугольного и прямоугольного треугольника неравенство очевидно, так как в этом случае
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqslant0.
Если треугольник остроугольный, то неравенство следует из задачи 3250.
Второй способ. б) Если один из косинусов отрицателен, т. е. треугольник тупоугольный, то неравенство очевидно. Если все косинусы неотрицательны, т. е. треугольник остроугольный или прямоугольный, то
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqslant\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}{3}\right)^{3}\leqslant\left(\frac{\frac{3}{2}}{3}\right)^{3}=\frac{1}{8}
(см. задачу 4157).
Примечание. См. также статью V.N.Murty «Four Proofs of the Inequality -1\lt\cos A\cos B\cos C\leqslant\frac{1}{8}
», Crux, 2003, N2, p.82.
а) См. задачу 3250.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 10.40, с. 263
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 10.42, с. 255
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — пример 2, с. 102; № 13.28, с. 106