3253. Докажите, что если углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, то:
\mbox{а)}~\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{1}{8};~\mbox{б)}~\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqslant\frac{1}{8}.
Решение. Первый способ. а) Пусть R
— радиус описанной окружности, r
— радиус вписанной окружности. Тогда
\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{4R}
(см. задачу 3225). Кроме того, R\geqslant2r
(см. задачу 3587). Следовательно,
\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{4R}\leqslant\frac{1}{8}.
б) Для тупоугольного и прямоугольного треугольника неравенство очевидно, так как в этом случае
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqslant0.
Если треугольник остроугольный, то неравенство следует из задачи 3250.
Второй способ. б) Если один из косинусов отрицателен, т. е. треугольник остроугольный, то неравенство очевидно. Если все косинусы неотрицательны, т. е. треугольник остроугольный или прямоугольный, то
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqslant\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}{3}\right)^{3}\leqslant\left(\frac{\frac{3}{2}}{3}\right)^{3}=\frac{1}{8}
(см. задачу 4157).
а) См. задачу 3250.