3254. Докажите, что если углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, то:
\mbox{а)}~\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma+4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma+1=0;
\mbox{б)}~\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=1.
Решение. а) Из равенств
\cos2\alpha+\cos2\beta=2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=-2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta),
1+\cos2\gamma=2\cos^{2}\gamma,~\cos(\alpha+\beta)=\cos(\pi-\gamma)=-\cos\gamma,
\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)=2\cos\alpha\cos\beta
следует, что
\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma+4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma+1=
=2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+2\cos^{2}\gamma+4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=
=-2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta)+2\cos^{2}\gamma+4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=
=-2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta)-\cos\gamma-2\cos\alpha\cos\beta)=
=-2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)-2\cos\alpha\cos\beta)=-2\cos\gamma\cdot0=0.
Что и требовалось доказать.
б) Применяя равенство, доказанное в пункте а), получим, что
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=
=\frac{1+\cos2\alpha}{2}+\frac{1+\cos2\beta}{2}+\frac{1+\cos2\gamma}{2}+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=
=\frac{1}{2}(3+\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma+4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma)=\frac{1}{2}\cdot(3-1)=1.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 12.39, с. 304
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.41, с. 292