3261. Окружность проходит через вершины B
и C
треугольника ABC
и вторично пересекает прямые AB
и AC
в точках P
и Q
. Докажите, что для всех таких окружностей прямые PQ
параллельны.
Указание. Докажите, что все прямые PQ
образуют с прямой BC
один и тот же угол.
Решение. Пусть точки P
и Q
лежат на прямых AB
и AC
соответственно. Рассмотрим случай, когда точка P
лежит на отрезке AB
, а точка Q
— на отрезке AC
. Тогда четырёхугольник BPQC
— вписанный, поэтому
\angle APQ=180^{\circ}-\angle BPQ=\angle BCQ=\angle BCA.
Аналогично докажем, что \angle APQ=\angle BCA
для любого другого расположения точек P
и Q
на прямых AB
и AC
. Значит, все прямые PQ
образуют с прямой BC
один и тот же угол. Следовательно, все они параллельны.