3263. Окружности радиусов a
, b
и c
с центрами A
, B
и C
попарно касаются друг друга внешним образом. Пусть r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
. Докажите, что
\frac{1}{r^{2}}=\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}.
Указание. Примените формулу Герона.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p=a+b+c
— его полупериметр. По формуле Герона
S^{2}=p(p-b-c)(p-a-c)(p-a-b)=(a+b+c)abc.
Значит,
r^{2}=\frac{S^{2}}{p^{2}}=\frac{(a+b+c)abc}{(a+b+c)^{2}}=\frac{abc}{a+b+c}.
Следовательно,
\frac{1}{r^{2}}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}.
Что и требовалось доказать.