3264. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, причём a
и c
— длины наименьшей и наибольшей сторон, а R
и r
— радиусы описанной и вписанной окружности треугольника. Докажите, что ac=6Rr
.
Указание. Примените формулы площади треугольника: S=\frac{abc}{4R}
и S=pr
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника, p
— его полупериметр, b
— длина средней по величине стороны. Тогда
b=\frac{a+c}{2},~p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+c}{2}+\frac{b}{2}=b+\frac{b}{2}=\frac{3}{2}b,
S=\frac{abc}{4R},~S=pr=\frac{3}{2}br.
Из равенства \frac{abc}{4R}=\frac{3}{2}br
следует, что ac=6Rr
. Что и требовалось доказать.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 89, с. 145