3270. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника можно вычислить по формуле
S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^{2}\frac{B+D}{2},
где a
, b
, c
и d
— стороны четырёхугольника ABCD
, p
— полупериметр.
Решение. Пусть AB=a
, BC=b
, CD=c
, AD=d
— стороны четырёхугольника ABCD
. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ADC=\delta
. Тогда
S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}(ab\sin\beta+cd\sin\delta),
a^{2}+b^{2}-2ab\cos\beta=c^{2}+d^{2}-2cd\cos\delta.
Поэтому
16S^{2}=4a^{2}b^{2}\sin^{2}\beta+8abcd\sin\beta\sin\delta+4c^{2}d^{2}\sin^{2}\delta=
=4a^{2}b^{2}-4a^{2}b^{2}\cos^{2}\beta+8abcd\sin\beta\sin\delta+4c^{2}d^{2}-4c^{2}d^{2}\cos^{2}\delta=
=4a^{2}b^{2}+4c^{2}d^{2}-(4a^{2}b^{2}\cos^{2}\beta+4c^{2}d^{2}\cos^{2}\delta)+8abcd\sin\beta\sin\delta,
(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}=(2ab\cos\beta-2cd\cos\delta)^{2}=
=4a^{2}b^{2}\cos^{2}\beta-8abcd\cos\beta\cos\delta+4c^{2}d^{2}\cos^{2}\delta,
(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}+8abcd\cos\beta\cos\delta=4a^{2}b^{2}\cos^{2}\beta+4c^{2}d^{2}\cos^{2}\delta.
Значит,
16S^{2}=4a^{2}b^{2}+4c^{2}d^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}-8abcd\cos\beta\cos\delta+8abcd\sin\beta\sin\delta=
=4(ab+cd)^{2}-8abcd-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}-8abcd\cos\beta\cos\delta+8abcd\sin\beta\sin\delta=
=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}-8abcd(1+\cos\beta\cos\delta-\sin\beta\sin\delta).
Заметим, что
4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}=
=(2ab+2cd-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})(2ab+2cd+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})=
=((c+d)^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-(c-d)^{2})=
=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)=
=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).
Кроме того,
1+\cos\beta\cos\delta-\sin\beta\sin\delta=1+\cos(\beta+\delta)=2\cos^{2}\frac{\beta+\delta}{2},
Значит,
16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd\cos^{2}\frac{\beta+\delta}{2}.
Следовательно,
S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^{2}\frac{\beta+\delta}{2}.
Что и требовалось доказать.