3274. Дан правильный 4n
-угольник A_{1}A_{2}\dots A_{4n}
площади S
, причём n\gt1
. Найдите площадь четырёхугольника A_{1}A_{n}A_{n+1}A_{n+2}
.
Ответ. \frac{S}{2n}
.
Указание. Если O
— центр данного многоугольника, а площадь треугольника A_{n}OA_{n+1}
равна x
, то S=4nx
.
Решение. Во всех трёх способах решения мы будем пользоваться следующими свойствами. Обозначим центр нашего многоугольника через O
. Тогда площадь всего многоугольника равна
S_{\triangle OA_{1}A_{2}}+S_{\triangle OA_{2}A_{3}}+\dots+S_{\triangle OA_{4n-1}A_{4n}}+S_{\triangle OA_{4n}A_{1}}=4nS_{\triangle OA_{1}A_{2}},
Если обозначить площадь треугольника вида OA_{i}A_{i+1}
через x
, то S=4nx
, откуда, x=\frac{S}{4n}
. Докажем, что площадь искомого четырёхугольника равна 2x=2\cdot\frac{S}{4n}=\frac{S}{2n}
.
Первый способ. A_{1}
и A_{2n+1}
— противоположные вершины многоугольника. Следовательно, диагональ A_{1}A_{2n+1}
проходит через O
(рис. 1). Очевидно, что
A_{1}A_{2n+1}\parallel A_{2}A_{2n}\parallel A_{3}A_{2n-1}\parallel\dots\parallel A_{1+(n-1)}A_{2n+1-(n-1)}=A_{n}A_{n+2}.
Значит, площади треугольников A_{1}A_{n}A_{n+2}
и OA_{n}A_{n+2}
равны, так как у них совпадают основания и высоты. Отсюда имеем, что
S_{A_{1}A_{n}A_{n+1}A_{n+2}}=S_{\triangle A_{1}A_{n}A_{n+2}}+S_{\triangle A_{n}A_{n+1}A_{n+2}}=
=S_{\triangle OA_{n}A_{n+2}}+S_{\triangle A_{n}A_{n+1}A_{n+2}}=S_{OA_{n}A_{n+1}A_{n+2}}=
=S_{\triangle OA_{n}A_{n+1}}+S_{\triangle OA_{n+1}A_{n+2}}=2S_{\triangle OA_{n}A_{n+1}}=2x.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Легко заметить, что \angle A_{1}A_{n+1}A_{n+2}=\angle A_{1}A_{3n}A_{3n+1}
(рис. 2). Значит,
S_{A_{1}A_{n}A_{n+1}A_{n+2}}=S_{\triangle A_{1}A_{n+1}A_{n}}+S_{\triangle A_{1}A_{3n}A_{3n+1}}.
Пусть сторона многоугольника равна a
. Заметим, что стороны A_{n+1}A_{n}
и A_{3n+1}A_{3n}
противоположны и, следовательно, параллельны. Отсюда по формуле площади треугольника получаем, что
S_{\triangle A_{1}A_{n+1}A_{n}}+S_{\triangle A_{1}A_{3n}A_{3n+1}}=\frac{1}{2}A_{n+1}A_{n}\cdot h_{1}+\frac{1}{2}A_{3n+1}A_{3n}\cdot h_{2}=\frac{1}{2}a(h_{1}+h_{2}),
где h_{1}
и h_{2}
— высоты треугольников A_{1}A_{n+1}A_{n}
и A_{1}A_{3n+1}A_{3n}
, проведённые из вершины A_{1}
. Но сумма h_{1}+h_{2}
равна расстоянию между прямыми A_{n+1}A_{n}
и A_{3n+1}A_{3n}
. Следовательно,
S_{\triangle A_{1}A_{n+1}A_{n}}+S_{\triangle A_{1}A_{3n}A_{3n+1}}=S_{OA_{n+1}A_{n}}+S_{\triangle OA_{3n}A_{3n+1}}=2x
(так как сумма расстояний от точки O
до сторон A_{n+1}A_{n}
и A_{3n+1}A_{3n}
такая же, как у точки A_{1}
). Что и требовалось доказать.
Третий способ. Вычислим площадь этого четырёхугольника по формуле
S=\frac{1}{2}A_{1}A_{n+1}\cdot A_{n}A_{n+2}\sin\angle(A_{1}A_{n+1},A_{n}A_{n+2}),
где \angle(A_{1}A_{n+1},A_{n}A_{n+2})
— угол между диагоналями A_{1}A_{n+1}
и A_{n}A_{n+2}
. Впишем правильный 4n
-угольник в окружность радиуса R
с центром O
(рис. 3). Теперь все стороны и диагонали четырёхугольника — хорды окружности. Получаем, что
A_{1}A_{n+1}=2R\sin\frac{\angle A_{1}OA_{n+1}}{2}=2R\sin\frac{\pi}{4}=R\sqrt{2},
A_{n}A_{n+2}=2R\sin\frac{\angle A_{n}OA_{n+2}}{2}=2R\sin\frac{\pi}{2n},
\sin\angle(A_{1}A_{n+1},A_{n}A_{n+2})=\sin\frac{\angle A_{1}OA_{n}+\angle A_{n+1}OA_{n+2}}{2}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Значит,
S'=R^{2}\sin\frac{\pi}{2n}=2\left(\frac{1}{2}R\cdot R\sin\frac{\pi}{2n}\right)=2x.
Что и требовалось доказать.