3278. Точки K
, M
, N
— середины сторон соответственно AB
, CD
, AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
; L
— середина отрезка AN
. Оказалось, что прямые AM
, BN
, CL
и DK
пересекаются в одной точке O
. Докажите, что ломаная BOM
делит четырёхугольник на две равновеликие части.
Указание. Достройте треугольник AON
до параллелограмма AONE
.
Решение. Заметим, что O
— точка пересечения медиан DK
и BN
треугольника ABD
, поэтому медиана этого треугольника, проведённая из вершины A
, также проходит через точку O
, а так как по условию точка O
лежит на прямой AM
, то точка F
пересечения AD
и AM
— середина BD
. Поэтому FM
— средняя линия треугольника BCD
. Тогда FM\parallel BC
, а значит, и AO\parallel BC
.
Достроим треугольник AON
до параллелограмма AONE
. Его диагональ OE
проходит через середину L
диагонали AN
, а значит, лежит на прямой CL
. Кроме того, EN\parallel AO\parallel BC
, поэтому треугольник BOC
подобен треугольнику NOE
, причём коэффициент подобия равен \frac{BO}{ON}=2
.
Медианы AF
, BN
и DK
разбивают треугольник ABD
на шесть равновеликих треугольников. Пусть площадь каждого из них равна 2s
. Тогда S_{\triangle NOE}=S_{\triangle AON}=2s
, а S_{\triangle BOC}=4S_{\triangle NOE}=8s
.
Поскольку OM
— медиана треугольника COD
, треугольник COM
равновелик треугольнику DOM
. Значит,
S_{OBCM}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle COM}=8s+S_{\triangle DOM}.
Следовательно,
S_{OBAD}=10s+S_{\triangle DFM}=8s+2s+S_{\triangle DFM}=
=8s+S_{\triangle DOF}+S_{\triangle DFM}=8s+S_{\triangle DOM}=S_{OBCM}.
Что и требовалось доказать.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Евдокимов М. А. От задачек к задачам. — М.: МЦНМО, 2004. — № 17, с. 18