3280. Три окружности проходят через точку O
и попарно пересекаются в вершинах остроугольного треугольника ABC
. Докажите, что если окружность, описанная около этого треугольника, проходит через центры двух данных окружностей, то она проходит и через центр третьей.
Указание. Из того, что точки A
, O_{1}
, B
и C
лежат на одной окружности, а также точки A
, B
, O_{2}
и C
на одной окружности следует, что точки A
, B
, C
и O_{3}
также лежат на одной окружности.
Решение. Пусть окружность \omega
с центром O
, описанная около треугольника ABC
проходит через центр O_{1}
окружности, описанной около треугольника AOB
, и через центр O_{2}
окружности, описанной около треугольника BOC
. Нужно доказать, что окружность \omega
проходит через центр O_{3}
окружности, описанной около треугольника AOC
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Тогда четырёхугольники AO_{1}BC
и ABO_{2}C
вписанные, поэтому
\angle AO_{1}B=180^{\circ}-\gamma,~\angle BO_{2}C=180^{\circ}-\alpha.
Значит,
\angle AOB=\frac{1}{2}(180^{\circ}+\gamma)=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2},
\angle BOC=\frac{1}{2}(180^{\circ}+\alpha)=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
Поэтому
\angle AOC=360^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}+90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}-\frac{\gamma+\alpha}{2}=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}.
Тогда
\angle AO_{3}C=360^{\circ}-2\angle AOC=360^{\circ}-2\left(90^{\circ}+\frac{\beta}{2}\right)=180^{\circ}-\beta,
поэтому четырёхугольник ABCO_{3}
также вписанный. Следовательно, точка O_{3}
также лежит на окружности \omega
.