3323. Точка P
— основание высоты треугольника со сторонами 6, 7, 8, опущенной на сторону, равную 7. Через точку P
, проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 6, в точке Q
. Найдите PQ
.
Ответ. \frac{12}{7}
или 2.
Решение. Пусть CP
— высота треугольника ABC
со сторонами AB=7
, AC=6
, BC=8
. По теореме косинусов
\cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{49+36-64}{2\cdot7\cdot6}=\frac{1}{4}.
Из прямоугольного треугольника APC
находим, что
AP=AC\cos\angle BAC=6\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{2}.
Заметим, что существует ровно два случая расположения точки Q
на стороне AC
: либо \angle APQ=\angle ABC
(рис. 1), либо \angle APQ=\angle ACB
(рис. 2).
В первом из этих случаев PQ\parallel BC
, треугольник APQ
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AP}{AB}=\frac{\frac{3}{2}}{7}=\frac{3}{14}
, следовательно,
PQ=BC\cdot\frac{3}{14}=8\cdot\frac{3}{14}=\frac{12}{7}.
Пусть теперь \angle APQ=\angle ACB
. Тогда треугольник APQ
подобен треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия равен
\frac{AP}{AC}=\cos\angle BAC=\frac{1}{4}.
следовательно,
PQ=BC\cdot\frac{1}{4}=8\cdot\frac{1}{4}=2.
