3324. В треугольнике KLM
известно, что KM=15
, LM=12
, \cos\angle M=\frac{2}{5}
, KE
— высота. Через точку E
, проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону KM
в точке F
. Найдите EF
.
Ответ. 7{,}5
или 6
.
Решение. По теореме косинусов
KL=\sqrt{KM^{2}+LM^{2}-2KM\cdot LM\cos\angle M}=\sqrt{15^{2}+12^{2}-2\cdot15\cdot12\cdot\frac{2}{5}}=15,
поэтому треугольник KLM
равнобедренный с основанием LM
, значит, E
— середина LM
.
Заметим, что существует ровно два случая расположения точки F
на стороне AB
: либо \angle MEF=\angle KLM
(рис. 1), либо \angle MEF=\angle MKL
(рис. 2).
В первом из этих случаев EF\parallel KL
. Тогда EF
— средняя линия треугольника KLM
, следовательно, EF=\frac{1}{2}KL=\frac{15}{2}
.
Пусть теперь \angle MEF=\angle MKL
. Тогда треугольник EMF
подобен равнобедренному треугольнику KLM
, следовательно,
EF=EM=\frac{1}{2}LM=6.
