3331. В окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда AB=8
. Точка C
лежит на хорде AB
так, что AC:BC=1:2
. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды AB
в точке C
.
Ответ. \frac{8}{9}
или \frac{32}{9}
.
Решение. Пусть E
— проекция центра O
данной окружности на хорду AB
. Тогда E
— середина AB
и
OE=\sqrt{OB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{25-16}=3.
Если искомая окружность с центром Q
и радиусом r
касается данной в точке D
, то
OQ=OD-QD=5-r,~CE=AE-AC=4-\frac{1}{3}\cdot8=\frac{4}{3}.
Пусть F
— проекция точки O
на прямую QC
. Тогда OFCE
— прямоугольник, поэтому CF=OE=3
и OF=CE=\frac{4}{3}
.
Рассмотрим случай, когда точки O
и Q
лежат по разные стороны от прямой AB
(рис. 1). Тогда QF=QC+CF=QC+OE=r+3
. По теореме Пифагора OQ^{2}=QF^{2}+OF^{2}
, или (5-r)^{2}=(r+3)^{2}+\frac{16}{9}
. Из этого уравнения находим, что r=\frac{8}{9}
.
Если же точки O
и Q
лежат по одну сторону от прямой AB
(рис. 2), то аналогично получим уравнение (5-r)^{2}=(r-3)^{2}+\frac{16}{9}
, из которого найдём, что x=\frac{32}{9}
.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2010
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2014. — № 11, с. 166