3339. Отношение радиусов окружностей S_{1}
и S_{2}
, касающихся в точке B
, равно k
(k\gt1
). Из точки A
, лежащей на окружности S_{1}
, проведена прямая, касающаяся окружности S_{2}
в точке C
. Найдите AC
, если известно, что хорда, высекаемая окружностью S_{2}
на прямой AB
, равна b
.
Ответ. b\sqrt{k^{2}\pm k}
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Рассмотрим случай внешнего касания. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей S_{1}
и S_{2}
радиусов R
и r
соответственно, \frac{R}{r}=k\gt1
; X
— точка пересечения прямой AB
с окружностью S_{2}
, отличная от B
, BX=b
.
Равнобедренные треугольники BO_{2}X
и BO_{1}A
подобны с коэффициентом \frac{R}{r}
, поэтому
AB=\frac{R}{r}\cdot BX=\frac{bR}{r}.
По теореме о касательной и секущей
AC^{2}=AB\cdot AX=AB(AB+BX)=
=\frac{bR}{r}\left(b+\frac{bR}{r}\right)=b^{2}\cdot\frac{R}{r}\left(1+\frac{R}{r}\right)=b^{2}k(1+k).
Следовательно, AC=b\sqrt{k^{2}+k}
.
В случае внутреннего касания аналогично получим, что AC=b\sqrt{k^{2}-k}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 9.40, с. 70