3340. Геометрический смысл классических неравенств. Точка M
лежит вне окружности с центром O
. Прямая OM
пересекает окружность в точках A
и B
, прямая, проходящая через точку M
, касается окружности в точке C
, точка H
— проекция точки C
на AB
, а перпендикуляр к AB
, восставленный в точке O
, пересекает окружность в точке P
. Известно, что MA=a
и MB=b
. Найдите MO
, MC
, MH
, MP
и расположите найденные значения по возрастанию.
Ответ. MH=\frac{2ab}{a+b}
, MC=\sqrt{ab}
, MO=\frac{a+b}{2}
, MP=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}
.
Решение. Для определённости будем считать, что a\lt b
.
Точка O
— середина отрезка AB
, поэтому
MO=\frac{MA+MB}{2}=\frac{a+b}{2}.
По теореме о касательной и секущей
MC=\sqrt{MA\cdot MB}=\sqrt{ab}.
CH
— высота прямоугольного треугольника OCM
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
MH=\frac{MC^{2}}{MO}=\frac{ab}{\frac{a+b}{2}}=\frac{2ab}{a+b}.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MOP
находим, что
MP=\sqrt{MO^{2}+OP^{2}}=\sqrt{MO^{2}+OA^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}.
MH
— катет прямоугольного треугольника MCH
с гипотенузой MC
, поэтому MH\lt MC
.
MC
— катет прямоугольного треугольника MOC
с гипотенузой MO
, поэтому MC\lt MO
.
MO
— катет прямоугольного треугольника MOP
с гипотенузой MP
, поэтому MO\lt MP
.
Следовательно, MH\lt MC\lt MO\lt MP
, или
\frac{2ab}{a+b}\lt\sqrt{ab}\lt\frac{a+b}{2}\lt\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}.
Примечание. 1. Число \frac{a+b}{2}
называется средним арифметическим чисел a
и b
,
\sqrt{ab}
— средним геометрическим чисел a
и b
,
\frac{2ab}{a+b}
— средним гармоническим чисел a
и b
,
\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}
— средним квадратичным (средним квадратическим) чисел a
и b
.
Для любых двух неотрицательных чисел a
и b
верно неравенство
\frac{2ab}{a+b}\leqslant\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b
.
2. Число \frac{a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}}{n}
называется средним арифметическим чисел a_{1}
, a_{2}
, …, a_{n}
;
\sqrt[{n}]{{a_{1}a_{2}\dots a_{n}}}
— средним геометрическим чисел a_{1}
, a_{2}
, …, a_{n}
;
\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\dots+\frac{1}{a_{n}}}
— средним гармоническим чисел a_{1}
, a_{2}
, …, a_{n}
;
\sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots+a_{n}^{2}}{n}}
— средним квадратичным (средним квадратическим) чисел a_{1}
, a_{2}
, …, a_{n}
.
Для любых положительных чисел a_{1}
, a_{2}
, …a_{n}
; верно неравенство
\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\dots+\frac{1}{a_{n}}}\leqslant\sqrt[{n}]{{a_{1}a_{2}\dots a_{n}}}\leqslant\frac{a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}}{n}\leqslant\sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots+a_{n}^{2}}{n}},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a_{1}=a_{2}=\dots=a_{n}
.
3. См. также статью З.А.Скопеца «Сравнение различных средних двух положительных чисел», Квант, 1971, N2, с.20-33.
4. См. также статью А.Гольдмана и Л.Звавича «Числовые средние и геометрия», Квант, 1990, N9, с.62-65.
4. См. также статью Л.Шибасова «Соотношения между средними величинами», Квант, 2004, N4, с.42-46.