3344. Площадь четырёхугольника равна 3, а длины его диагоналей равны 6 и 2. Найдите угол между диагоналями.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, т. е. \frac{1}{2}\cdot6\cdot2\cdot\sin\alpha=3
, откуда находим, что \sin\alpha=\frac{1}{2}
, а так как \alpha\lt90^{\circ}
(угол между прямыми), то \alpha=30^{\circ}
.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1963, 7 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 63.07.