3359. Дан выпуклый шестиугольник, каждая диагональ которого, соединяющая противоположные вершины, делит его площадь пополам. Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть диагональ AD
выпуклого шестиугольника ABCDEF
пересекается с диагоналями BE
и CF
в точках X
и Y
соответственно, а диагонали BE
и CF
пересекаются в точке Z
, причём точка X
лежит между A
и Y
, а Z
— между E
и X
. Тогда
S_{\triangle ABX}=S_{\triangle XDE},~S_{\triangle BCZ}=S_{\triangle ZEF},~S_{\triangle CDY}=S_{\triangle YAF}
(например, площадь каждого из треугольников ABX
и XDE
равна разности половины площади данного шестиугольника и четырёхугольника BCDX
). Поэтому
AX\cdot BX=DX\cdot EX\gt DY\cdot EZ,~
FZ\cdot EZ=CZ\cdot BZ\gt BX\cdot CY,~
CY\cdot DY=AY\cdot FY\gt AX\cdot FZ,
значит,
(AX\cdot BX)(FZ\cdot EZ)(CY\cdot DY)\gt(DY\cdot EZ)(BX\cdot CY)(AX\cdot FZ),
что невозможно. Следовательно, отрезки AD
, BE
и CF
пересекаются в одной точке. Аналогично для остальных случаев.
