3360. Точка O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. На сторонах AC
и BC
выбрали соответственно точки M
и K
, причём BK\cdot AB=BO^{2}
и AM\cdot AB=AO^{2}
. Докажите, что точки M
, O
и K
лежат на одной прямой.
Решение. Из равенства BK\cdot AB=BO^{2}
следует, что \frac{BK}{BO}=\frac{BO}{AB}
, а так как BO
— биссектриса угла ABC
, то \angle OBK=\angle ABO
, поэтому треугольники BOK
и BAO
подобны. Значит, \angle BOK=\angle BAO
. Аналогично, \angle AOM=\angle ABO
, поэтому
\angle AOM+\angle AOB+\angle BOK=\angle ABO+(180^{\circ}-\angle ABO-\angle BAO)+\angle BAO=180^{\circ}.
Следовательно, точки M
, O
и K
лежат на одной прямой.