3360. Точка O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. На сторонах AC
и BC
выбрали соответственно точки M
и K
, причём BK\cdot AB=BO^{2}
и AM\cdot AB=AO^{2}
. Докажите, что точки M
, O
и K
лежат на одной прямой.
Решение. Из равенства BK\cdot AB=BO^{2}
следует, что \frac{BK}{BO}=\frac{BO}{AB}
, а так как BO
— биссектриса угла ABC
, то \angle OBK=\angle ABO
, поэтому треугольники BOK
и BAO
подобны. Значит, \angle BOK=\angle BAO
. Аналогично, \angle AOM=\angle ABO
, поэтому
\angle AOM+\angle AOB+\angle BOK=\angle ABO+(180^{\circ}-\angle ABO-\angle BAO)+\angle BAO=180^{\circ}.
Следовательно, точки M
, O
и K
лежат на одной прямой.
Автор: Гольдберг А. Г.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1980, 8 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 80.21.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.30, с. 14
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 1.30, с. 12
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 18.22, с. 137
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1884, № 9, задача 2 (1983, с. 303), с. 286