3362. Точка M
расположена внутри треугольника ABC
. Известно, что треугольники AMB
, AMC
и BMC
равновелики. Докажите, что M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Решение. Продолжим отрезок AM
до пересечения со стороной BC
в точке K
. Пусть P
и Q
— проекции точек соответственно B
и C
на прямую AM
. Тогда BP=CQ
как высоты равновеликих треугольников AMB
и AMC
, опущенные на их общую сторону AM
. Если точки P
и Q
совпадают, то они совпадают с точкой K
. В этом случае K
— середина BC
, т. е. AK
— медиана треугольника ABC
. Если же точки P
и Q
различны, то прямоугольные треугольники BKP
и CKQ
равны по катету и противолежащему острому углу, значит, BK=CK
, т. е. и в этом случае AK
— медиана треугольника ABC
.
Аналогично, точка M
лежит на медианах треугольника ABC
, проведённых из вершин B
и C
. Следовательно, M
— точка пересечения медиан этого треугольника.