3363. Докажите, что биссектриса, проведённая к наибольшей стороне треугольника, не превосходит высоту, опущенную на наименьшую сторону треугольника.
Решение. Пусть BC\leqslant AC\leqslant AB
— стороны треугольника ABC
, AH
— высота, опущенная на наименьшую сторону BC
, CL
— биссектриса, проведённая к наибольшей стороне AB
.
Предположим, что BC\lt AC
. На луче CB
отложим отрезок CA_{1}
, равный AC
. Тогда точка B
окажется между C
и A_{1}
. Поскольку AC
— не наибольшая сторона треугольника ABC
, лежащий против неё угол ABC
— острый, значит, смежный с ним угол ABA_{1}
треугольника ABA_{1}
— тупой. Поэтому AA_{1}\gt AB\geqslant AC=CA_{1}
.
В треугольнике ACA_{1}
высота AH
, проведённая к стороне CA_{1}
, больше высоты CM
, проведённой к большей стороне AA_{1}
, а так как высота равнобедренного треугольника ACA_{1}
является его биссектрисой, то точка L
лежит на луче CM
, причём она расположена между C
и M
. Следовательно, AH\gt CM\gt CL
. Что и требовалось доказать.
Если BC=AC
, треугольник ABC
— равнобедренный, его биссектриса CL
является высотой, причём эта высота опущена на наибольшую сторону. Поэтому CL\leqslant AH
.