3364. В выпуклом четырёхугольнике сумма расстояний от любой точки внутри четырёхугольника до четырёх прямых, на которых лежат стороны четырёхугольника, постоянна. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.
Решение. Докажем сначала следующую лемму. Геометрическое место точек, расположенных внутри данного угла, сумма расстояний от которых до сторон этого угла равна одной и той же величине, есть отрезок, перпендикулярный биссектрисе угла.
На расстоянии, равном данной величине a
, проведём прямую, параллельную стороне OQ
данного угла POQ
, и пересекающую сторону OP
в точке R
. Пусть S
— точка проведённой прямой, лежащая внутри угла POQ
. Тогда сумма расстояний, от любой внутренней точки угла POQ
, лежащей на биссектрисе угла ORS
, до сторон OP
и OQ
равна a
.
Обратно, если сумма расстояний от некоторой внутренней точки N
угла POQ
до сторон этого угла равна a
, а E
и F
— проекции этой точки на прямые OP
и OQ
соответственно, то NF+NE=a
, NF+NH=a
, где H
— проекция точки N
на прямую RS
. Поэтому NE=NH
. Следовательно, точка N
лежит на биссектрисе угла ORS
.
Вернёмся к нашей задаче. Пусть ABCD
— данный в условии четырёхугольник. Предположим, что прямые AB
и CD
пересекаются в точке K
. Рассмотрим внутри четырёхугольника такие точки X
и Y
, что XY
перпендикулярно биссектрисе угла AKD
. Тогда по доказанной лемме суммы расстояний от X
и Y
до прямых AB
и CD
равны, поэтому равны и суммы расстояний до прямых BC
и AD
. Из леммы следует, что это может быть, только если BC\parallel AD
(если бы прямые BC
и AD
пересекались, то биссектриса образованного ими угла была бы параллельна биссектрисе угла AKD
или совпадала бы с ней). Но тогда для любой точки Z
внутри четырёхугольника ABCD
, не лежащей на прямой XY
, сумма расстояний до прямых BC
и AD
, а следовательно, и сумма расстояний до прямых AB
и CD
, была бы такой же, как и у точки X
, что противоречит лемме (ГМТ таких точек — отрезок, содержащий точку X
).
Таким образом, AB\parallel CD
. Аналогично, BC\parallel AD
. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1981, 9 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 81.25.