3366. В треугольнике ABC
угол C
в два раза больше угла A
и AC=2BC
. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
Решение. Первый способ (без тригонометрии). Пусть \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle ACB=2\alpha,~\angle ABC=180^{\circ}-3\alpha,
а так как AC\gt BC
, то 180^{\circ}-3\alpha\gt\alpha
, откуда \angle ACB=2\alpha\lt90^{\circ}
. Значит, серединный перпендикуляр к стороне AC
пересекает луч CB
в некоторой точке K
, AK=KC
, \angle CAK=\angle ACK=2\alpha
, а так как \angle CAB=\alpha
, то AB
— биссектриса угла ACK
.
По свойству биссектрисы треугольника \frac{BC}{BK}=\frac{AC}{AK}=\frac{2BC}{AK}
, откуда BK=\frac{1}{2}AK=\frac{1}{2}CK
, т. е. AB
— медиана и биссектриса треугольника CAK
, значит, треугольник CAK
— равнобедренный. Следовательно, AB
— его высота, т. е. \angle ABC=90^{\circ}
.
Второй способ. Пусть \angle BAC=\alpha
, BC=a
, AC=2a
. Тогда
\angle ACB=2\alpha,~\angle ABC=180^{\circ}-3\alpha,
По теореме синусов \frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{AC}{\sin(180^{\circ}-3\alpha)}
, или
\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{2a}{\sin3\alpha},~\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{2}{3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha},~\sin\alpha=\frac{1}{2},
а так как \alpha\lt90^{\circ}
как не наибольший угол треугольника, то \alpha=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=180^{\circ}-3\alpha=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Автор: Фомин С. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1982, 8 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 82.19
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1991, № 5, задача 2, с. 135