3368. Прямая, параллельная медиане CM
треугольника ABC
, пересекается с прямыми AB
, BC
и AC
в точках C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
соответственно. Докажите, что треугольники AA_{1}C_{1}
и BB_{1}C_{1}
равновелики.
Решение. Треугольник BCM
подобен треугольнику BA_{1}C_{1}
, а треугольник ACM
— треугольнику AB_{1}C_{1}
, поэтому
\frac{AM}{MC}=\frac{BM}{MC}=\frac{BC_{1}}{A_{1}C_{1}},~\frac{AM}{MC}=\frac{AC_{1}}{B_{1}C_{1}},
значит, \frac{BC_{1}}{A_{1}C_{1}}=\frac{AC_{1}}{B_{1}C_{1}}
, откуда BC_{1}\cdot B_{1}C_{1}=A_{1}C_{1}\cdot AC_{1}
, а так как \angle BC_{1}B_{1}=180^{\circ}-\angle AC_{1}A_{1}
, то
S_{\triangle AA_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot AC_{1}\sin\angle AC_{1}A_{1}=\frac{1}{2}BC_{1}\cdot B_{1}C_{1}\sin\angle BC_{1}B_{1}=S_{\triangle BB_{1}C_{1}}.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1983, 8 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 83.22