3370. Известно, что для некоторой внутренней точки K
медианы BM
треугольника ABC
углы BAK
и BCK
равны. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Достаточно доказать, что BK\perp AC
. Предположим, что это не так. Пусть \angle BMC\lt90^{\circ}
, а T
— точка симметричная вершине C
относительно прямой BM
. Тогда треугольник AMT
равнобедренный, а MB
— биссектриса его внешнего угла при вершине, поэтому AT\parallel BK
и \angle BTK=\angle BCK=\angle BAK
.
Из точек A
и T
, лежащих по одну сторону от прямой BK
, основание BK
трапеции ATBK
видно под одним и тем же углом, значит, эта трапеция — вписанная, а значит, — равнобедренная. Серединный перпендикуляр к её основанию AT
проходит через середину основания BK
, что невозможно, так как серединный перпендикуляр к основанию AT
равнобедренного треугольника AMT
проходит через точку M
, отличную от K
.