3372. Дан выпуклый четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны a
и b
. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.
Ответ. \frac{ab}{4}
.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
с диагоналями AC=a
и BD=b
, причём AC\perp BD
.
Отрезки KL
и MN
— средние линии треугольников ABC
и ADC
, поэтому KL\parallel AC
, KL=\frac{1}{2}AC
, MN\parallel AC
, MN=\frac{1}{2}AC
. Две противоположные стороны четырёхугольника KLMN
равны и параллельны, значит, это параллелограмм, а так как его стороны соответственно параллельны диагоналям четырёхугольника ABCD
, то KLMN
— прямоугольник. Его площадь равна произведению соседних сторон, причём KL=\frac{1}{2}AC
и LM=\frac{1}{2}BD
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot LM=\frac{1}{2}AC\cdot\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 3.12, с. 24