3391. В треугольнике ABC
известно, что AB=c
, BC=a
, \angle ABC=120^{\circ}
. Найдите расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин A
и C
.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}
.
Решение. Пусть AM
и CN
— высоты треугольника ABC
. Поскольку угол ABC
тупой, точки M
и N
лежат на продолжениях сторон BC
и AB
.
Из точек M
и N
сторона AC
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Вписанные в эту окружность углы CMN
и CAN
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BMN=\angle CMN=\angle CAN=\angle CAB,
значит, треугольник MBN
подобен треугольнику ABC
по двум углам (угол при вершине B
— общий), причём коэффициент подобия равен
\frac{BM}{AB}=\cos\angle ABM=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}.
Следовательно,
MN=AC\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{BC^{2}+AB^{2}-2BC\cdot AB\cos120^{\circ}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}.
