3400. Дан треугольник KLM
, в котором \angle KML=121^{\circ}
. Точки S
и N
на стороне KL
таковы, что KS=SN=NL
. Известно, что MN\gt KS
. Докажите, что MS\lt NL
.
Решение. Предположим, что это не так, т. е. MS\geqslant NL=KS
. Тогда в треугольнике KMS
против большей стороны MS
лежит больший угол, т. е. \angle MKS\geqslant\angle KMS
.
Поскольку MN\gt KS=NL
, в треугольнике MNL
против большей стороны MN
лежит больший угол, т. е. \angle MLN\gt\angle NML
. Следовательно,
\angle KMS+\angle NML\lt\angle MKS+\angle MLN=180^{\circ}-121^{\circ}=59^{\circ}.
Поэтому
\angle SMN=121^{\circ}-(\angle KMS+\angle NML)\gt121^{\circ}-59^{\circ}=62^{\circ}.
В то же время, \angle SMN
— наименьший угол в треугольнике SMN
, так как он лежит против наименьшей стороны SN
(MS\geqslant NL=SN
, MN\gt KS=SN
). Известно, что наименьший угол треугольника не больше 60^{\circ}
, т. е. \angle SMN\leqslant60^{\circ}
. Таким образом, получено противоречие. Следовательно, MS\lt NL
.