3402. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, при этом AB=BD
и AC=BC
. Докажите, что \angle ABC\lt60^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ABD=\alpha
, \angle CAD=\angle CBD=\beta
. Тогда
\angle ABC=\angle BAC=\alpha+\beta,~\angle BDA=\angle BAD=\angle BAC+\angle DAC=(\alpha+\beta)+\beta=\alpha+2\beta.
Сумма углов равнобедренного треугольника ABD
равна 180^{\circ}
, т. е.
\alpha+2(\alpha+2\beta)=3\alpha+4\beta=180^{\circ},
поэтому
3\alpha+3\beta=180^{\circ}-\beta\lt180^{\circ}.
Следовательно,
\angle ABC=\alpha+\beta\lt60^{\circ}.
Что и требовалось доказать.