3403. На биссектрисе AL
треугольника ABC
, в котором AL=AC
, выбрана точка K
таким образом, что CK=BL
. Докажите, что \angle CKL=\angle ABC
.
Решение. Заметим, что угол ALC
— острый как угол при основании равнобедренного треугольника ACL
. Тогда угол ALB
— тупой, поэтому в треугольнике ALB
сторона AB
— наибольшая, значит, AL\lt AB
.
При повороте вокруг точки A
, переводящем точку C
в L
, точка K
, лежащая на отрезке AL
, перейдёт в некоторую точку K'
отрезка AB
. При этом треугольник ACK
перейдёт в равный ему треугольник ALK'
. Тогда LK'=CK=BL
. Следовательно,
\angle CKL=180^{\circ}-\angle AKC=180^{\circ}-\angle AK'L=\angle LK'B=\angle K'BL=\angle ABC.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2007 г., второй тур, 7 класс