3404. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
выбраны точки X
и Y
так, что AX=BY
и при этом \angle XYB=\angle BAC
. Точка B_{1}
— основание биссектрисы угла B
. Докажите, что прямые XB_{1}
и YC
параллельны.
Решение. Через точку X
проведём прямую, параллельную стороне BC
, до пересечения со стороной AC
в точке B_{0}
. Тогда \angle AXB_{0}=\angle XBY
, поэтому треугольники AXB_{0}
и XBY
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, BX=XB_{0}
, треугольник BXB_{0}
— равнобедренный. Тогда
\angle B_{0}BC=\angle XB_{0}B=\angle XBB_{0},
т. е. BB_{0}
— биссектриса угла B
. Следовательно, точка B_{0}
совпадает с B_{1}
. Отсюда следует утверждение задачи.