3405. AA_{1}
и CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
, в котором \angle ABC=45^{\circ}
. Точки O
и H
— соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC
. Докажите, что прямая A_{1}C_{1}
проходит через середину отрезка OH
.
Решение. Первый способ. Центр O
описанной окружности треугольника ABC
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Острый угол при вершине B
прямоугольного треугольника BC_{1}C
равен 45^{\circ}
, поэтому треугольник BCC_{1}
— равнобедренный. Его высота, проведённая из вершины C_{1}
, проходит через середину основания BC
, а значит, является серединным перпендикуляром к стороне BC
. Аналогично, высота прямоугольного треугольника AA_{1}B
является серединным перпендикуляром к стороне AB
и также проходит через точку O
.
Т.к. AA_{1}\perp BC
и OC_{1}\perp BC
, то AA_{1}\parallel OC_{1}
. Аналогично, CC_{1}\parallel OA_{1}
. Значит, четырёхугольник OA_{1}HC_{1}
— параллелограмм. Следовательно, его диагональ A_{1}C_{1}
проходит через середину диагонали OH
.
Второй способ. Пусть прямая C_{1}O
пересекает сторону BC
в точке A_{2}
. Предположим, что уже доказано, что A_{2}
— середина BC
. Поскольку точки C_{1}
, A_{1}
и A_{2}
лежат на окружности девяти точек, а угол C_{1}A_{2}A_{1}
— прямой, то A_{1}C_{1}
— диаметр этой окружности. Известно, что центр окружности девяти точек — середина отрезка OH
. Отсюда следует утверждение задачи.