3408. Шестиугольник ABCDEF
вписан в окружность. Оказалось, что AB=BD
, CE=EF
. Диагонали AC
и BE
пересекаются в точке X
, диагонали BE
и DF
— в точке Y
, диагонали BF
и AE
— в точке Z
. Докажите, что треугольник XYZ
— равнобедренный.
Решение. Вписанные углы AEB
и BFD
опираются на равные хорды, поэтому
\angle YEZ=\angle AEB=\angle BFD=\angle YFZ.
Из точек E
и F
отрезок YZ
виден под одним и тем же углом, значит, точки E
, F
, Y
и Z
лежат на одной окружности, т. е. четырёхугольник EYZF
— вписанный. Следовательно,
\angle XYZ=180^{\circ}-\angle EYZ=\angle EFZ=\angle EFB.
Аналогично докажем, что \angle YXZ=\angle EAB
, а так как вписанные в исходную окружность углы EFB
и EAB
опираются на одну и ту же дугу, то
\angle XYZ=\angle EFB=\angle EAB=\angle YXZ.
Следовательно, треугольник XYZ
— равнобедренный.