3409. В треугольнике ABC
на сторонах AB
и BC
выбраны точки E
и F
так, что AE=EF
и \angle CEF=\angle ABC
. Точка K
на отрезке EC
такова, что EK=FC
. Докажите, что отрезок, соединяющий середины отрезков AF
и EC
, в два раза короче KF
.
Решение. Первый способ. Пусть X
, Y
и Z
— середины отрезков AF
, CE
и AC
соответственно. Тогда XZ
— средняя линия треугольника ACF
, поэтому XZ=\frac{1}{2}FC=\frac{1}{2}EK
и XZ\parallel FC
. Аналогично, YZ=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}EF
и YZ\parallel AE
. Кроме того, \angle XZY=\angle ABC
как углы между соответственно сонаправленными сторонами, поэтому \angle XZY=\angle ABC=\angle FEK
. Значит, треугольник XZY
подобен треугольнику EKF
(по двум сторонам и углу между ними), причём коэффициент подобия равен \frac{1}{2}
. Следовательно, XY=\frac{1}{2}KF
.
Второй способ. Пусть X
и Y
— середины отрезков AF
и CE
соответственно. Достроим треугольник AEF
до ромба AEFL
. Тогда треугольники LFC
и FEK
равны по двум сторонам и углу между ними (LF=AE=EF
, CF=EK
, \angle CFL=\angle ABC=\angle FEK
), а так как XY
— средняя линия треугольника LEC
(X
— точка пересечения диагоналей ромба AEFL
), то XY=\frac{1}{2}CL=\frac{1}{2}KF
.
Третий способ. Пусть X
и Y
— середины отрезков AF
и CE
соответственно. Тогда (см. задачу 4504)
\overrightarrow{YX}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CF})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{FC}).
В то же время,
\overrightarrow{KF}=\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{EK}.
Угол между векторами \overrightarrow{EA}
и \overrightarrow{FC}
равен углу между векторами \overrightarrow{EF}
и \overrightarrow{EK}
. Кроме того |\overrightarrow{EA}|=|\overrightarrow{EF}|
и |\overrightarrow{FC}|=|\overrightarrow{EK}|
, поэтому скалярный квадрат, а значит, квадрат длины вектора \overrightarrow{KF}
, равен квадрату длины вектора 2\overrightarrow{YX}
:
\overrightarrow{KF}^{2}=(\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{EK})^{2}=\overrightarrow{EF}^{2}-2\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{EK}^{2}=
=\overrightarrow{EF}^{2}-2|\overrightarrow{EF}|\cdot|\overrightarrow{EK}|\cos\angle FEK+\overrightarrow{EK}^{2}=
=\overrightarrow{EA}^{2}-2|\overrightarrow{EA}|\cdot|\overrightarrow{FC}|\cos\angle ABC+\overrightarrow{FC}^{2}=(\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{FC})^{2}=4\overrightarrow{YX}^{2}.
Следовательно, YX=\frac{1}{2}KF
.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2007 г., второй тур, 11 класс