3409. В треугольнике
ABC
на сторонах
AB
и
BC
выбраны точки
E
и
F
так, что
AE=EF
и
\angle CEF=\angle ABC
. Точка
K
на отрезке
EC
такова, что
EK=FC
. Докажите, что отрезок, соединяющий середины отрезков
AF
и
EC
, в два раза короче
KF
.
Решение. Первый способ. Пусть
X
,
Y
и
Z
— середины отрезков
AF
,
CE
и
AC
соответственно. Тогда
XZ
— средняя линия треугольника
ACF
, поэтому
XZ=\frac{1}{2}FC=\frac{1}{2}EK
и
XZ\parallel FC
. Аналогично,
YZ=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}EF
и
YZ\parallel AE
. Кроме того,
\angle XZY=\angle ABC
как углы между соответственно сонаправленными сторонами, поэтому
\angle XZY=\angle ABC=\angle FEK
. Значит, треугольник
XZY
подобен треугольнику
EKF
(по двум сторонам и углу между ними), причём коэффициент подобия равен
\frac{1}{2}
. Следовательно,
XY=\frac{1}{2}KF
.
Второй способ. Пусть
X
и
Y
— середины отрезков
AF
и
CE
соответственно. Достроим треугольник
AEF
до ромба
AEFL
. Тогда треугольники
LFC
и
FEK
равны по двум сторонам и углу между ними (
LF=AE=EF
,
CF=EK
,
\angle CFL=\angle ABC=\angle FEK
), а так как
XY
— средняя линия треугольника
LEC
(
X
— точка пересечения диагоналей ромба
AEFL
), то
XY=\frac{1}{2}CL=\frac{1}{2}KF
.
Третий способ. Пусть
X
и
Y
— середины отрезков
AF
и
CE
соответственно. Тогда (см. задачу 4504)
\overrightarrow{YX}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CF})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{FC}).

В то же время,
\overrightarrow{KF}=\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{EK}.

Угол между векторами
\overrightarrow{EA}
и
\overrightarrow{FC}
равен углу между векторами
\overrightarrow{EF}
и
\overrightarrow{EK}
. Кроме того
|\overrightarrow{EA}|=|\overrightarrow{EF}|
и
|\overrightarrow{FC}|=|\overrightarrow{EK}|
, поэтому скалярный квадрат, а значит, квадрат длины вектора
\overrightarrow{KF}
, равен квадрату длины вектора
2\overrightarrow{YX}
:
\overrightarrow{KF}^{2}=(\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{EK})^{2}=\overrightarrow{EF}^{2}-2\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{EK}^{2}=

=\overrightarrow{EF}^{2}-2|\overrightarrow{EF}|\cdot|\overrightarrow{EK}|\cos\angle FEK+\overrightarrow{EK}^{2}=

=\overrightarrow{EA}^{2}-2|\overrightarrow{EA}|\cdot|\overrightarrow{FC}|\cos\angle ABC+\overrightarrow{FC}^{2}=(\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{FC})^{2}=4\overrightarrow{YX}^{2}.

Следовательно,
YX=\frac{1}{2}KF
.