3410. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции ABCD
параллельно основаниям BC
и AD
, пересекает сторону CD
в точке K
. Окружность проходит через вершины A
и B
трапеции, пересекает её основания BC
и AD
в точках X
и Y
соответственно и касается её стороны CD
в точке K
. Докажите, что прямая XY
проходит через точку пересечения прямых AB
и CD
.
Решение. По теореме о касательной и секущей CK^{2}=CX\cdot CB
и DK^{2}=DY\cdot DA
, поэтому \frac{CK^{2}}{DK^{2}}=\frac{CX}{DY}\cdot\frac{DA}{CB}
.
С другой стороны, по теореме о пропорциональных отрезках и из подобия треугольников CXB
и AOD
следует, что \frac{CK}{DK}=\frac{CO}{OA}=\frac{CB}{DA}
. Значит, \frac{CB^{2}}{DA^{2}}=\frac{CX}{DY}\cdot\frac{DA}{CB}
, откуда \frac{CX}{DY}=\frac{CB}{DA}
.
При гомотетии с центром в точке O
пересечения прямых AB
и CD
, переводящей точку C
в точку D
, точка X
переходит в точку Y
. Следовательно, точки O
, X
и Y
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2007 г., отборочный тур, 9 класс