3411. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
, в котором BC=CD
. Точка E
— середина диагонали AC
. Докажите, что BE+DE\geqslant AC
.
Решение. Пусть D'
— точка, симметричная точке D
относительно серединного перпендикуляра к хорде AC
. Тогда AD'=CD=BC
, поэтому ABCD'
— равнобедренная трапеция или прямоугольник. Значит, BD'=AC
. Следовательно,
BE+DE=BE+ED'\geqslant BD'=AC.
Что и требовалось доказать.
Автор: Пастор А. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2007 г., отборочный тур, 9 класс