3412. Центр I
вписанной окружности остроугольного треугольника ABC
лежит на биссектрисе острого угла между высотами AA_{1}
и CC_{1}
. Докажите, что IA_{1}=IC_{1}=IL
, где L
— основание биссектрисы угла B
треугольника ABC
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Будем считать, что точка I
лежит внутри угла A_{1}HC
. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Тогда
\angle A_{1}HC=\alpha,~\angle A_{1}HI=\frac{\alpha}{2}=\angle A_{1}BI,
значит, из точек H
и B
отрезок HI
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки B
, H
, I
, A_{1}
лежат на одной окружности, причём BH
— диаметр этой окружности так как \angle BA_{1}H=90^{\circ}
. Из точки C_{1}
отрезок BH
виден под прямым углом, поэтому точка C_{1}
также лежит на этой окружности.
Поскольку BI
— биссектриса вписанного угла A_{1}BC_{1}
, точка I
— середина дуги A_{1}IC_{1}
, поэтому IA_{1}=IC_{1}
.
Вписанные углы BIA_{1}
и BHA_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BIA_{1}=\angle BHA_{1}=\angle ACB,
значит, четырёхугольник ILCA_{1}
— вписанный, а так как CI
— биссектриса угла LCA_{1}
, то IL=IA_{1}
. Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2007 г., отборочный тур, 10 класс