3413. Окружность, проходящая через вершины A
и C
и ортоцентр треугольника ABC
, пересекает стороны AB
и BC
в точках X
и Y
. На стороне AC
выбраны точки Z
и T
так, что ZX=ZY
и ZA=TC
. Докажите, что BT\perp XY
.
Решение. Пусть B'
— точка, симметричная вершине B
относительно середины стороны AC
, H
— ортоцентр треугольника ABC
. Точка B'
лежит на окружности, о которой говорится в условии задачи, так как
\angle AB'C=\angle ABC=180^{\circ}-\angle AHC,
т. е. четырёхугольник AHCB'
— вписанный.
Поскольку отрезки ZA
и TC
равны, при рассматриваемой симметрии точка T
переходит в Z
, а отрезок BT
— в параллельный ему отрезок B'Z
. Поэтому достаточно доказать, что B'Z\perp XY
.
По условию задачи точка Z
равноудалена от концов отрезка XY
. Четырёхугольник ABCB'
параллелограмм, поэтому \angle XAB'=\angle BAB'=\angle BCB'=\angle YCB'
. Равные вписанные углы XAB'
и YCB'
опираются на равные хорды, т. е. B'X=B'Y
. Таким образом, различные точки Z
и B'
равноудалены от концов отрезка XY
. Следовательно, B'Z
— серединный перпендикуляр к XY
. Отсюда следует утверждение задачи.